【解決】ミカエリス・メンテン式とKm値とVmax

1.反応速度論量の決定（Km値とVmax）

○ミカエリス・メンテン式

　ミカエリス・メンテン式とは、酵素の反応速度vを速度論的な挙動として表したもので、以下の式で表されます。

$$v=\frac{V_{max}[S]}{K_m＋[S]}$$

　・[S]：基質濃度
　・V_max：最大反応速度（基質濃度が無限大の時の反応速度）
　・K_m：v＝Vmax/２（最大反応速度の半分の速度）のときの基質濃度[S]

　K_mはミカエリス定数と呼ばれ、K_m値をもとに酵素と基質の親和性を知ることができます。すなわち、Km値が小さいと、酵素と基質の親和性は高いということになります。

※K_m値（最大反応速度V_maxの半分の速度のときの基質濃度[S]）が小さいということは、より少ない基質濃度[S]で最大反応速度V_maxの半分の速度に達するということです。

　上図は、酵素濃度[E]が一定の条件下で、さまざまな基質濃度[S]における酵素の初期反応速度v₀を求めて、プロットしたグラフになります。

　このように、基質濃度[S]を変化させると、酵素反応速度も変化することから、さまざまな基質濃度[S]における初期反応速度v₀を求めることにより、ミカエリス・メンテン式で表される曲線を得ることができます。

　ミカエリス・メンテン式で表される曲線は、ミカエリス・メンテン式によって導かれる近似曲線ですが、このままではV_max値とK_m値を求めることはできません（コンピュータを用いれば可能）。そのため、ミカエリス・メンテン式を変形し、プロットを直線に近似できるようにする必要があります。

○ミカエリス・メンテン式の変形

　ミカエリス・メンテン式を変形した方程式には、Lineweaver-Burkプロット、Eadie-HofsteeプロットおよびHanes-Woolfプロットの３つのプロットの仕方があります。

　まずは、もっともよく使われる変換法であるLineweaver-Burkプロットについて見ていきましょう。

○Lineweaver-Burkプロット

ミカエリス・メンテン式の逆数をとって整理すると、

$$v=\frac{V_{max}[S]}{K_m＋[S]}$$

$$\frac{1}{v}=\frac{K_m}{V_{max}}\times\frac{1}{[S]}＋\frac{1}{V_{max}}$$

となり、これをLineweaver-Burkプロット（ラインウィーバー・バークプロット）と呼びます。Lineweaver-Burkプロットでは、横軸（x軸）に1/[S]、縦軸（y軸）に1/vをとっていることから、二重逆数プロットとも呼ばれます。

　酵素反応の測定結果をもとに、Lineweaver-Burkプロットのグラフを作成すると、K_m値とV_maxとを求めることができます。

○Eadie-Hofsteeプロット

　ミカエリス・メンテン式の逆数をとってV_maxを掛けて整理すると、

$$v=\frac{V_{max}[S]}{K_m＋[S]}$$

$$\frac{V_{max}}{v}=\frac{K_m＋[S]}{[S]}$$

$$V_{max}=\frac{vK_m}{[S]}＋v$$

$$v=-K_m\times\frac{v}{[S]}＋V_{max}$$

となり、これをEadie-Hofsteeプロット（イーディー・ホフステープロット）と呼びます。Eadie-Hofsteeプロットでは、横軸（x軸）にv/[S]、縦軸（y軸）にvをとります。

○Hanes-Woolfプロット

　ミカエリス・メンテン式の逆数をとって[S]を掛けて整理すると、

$$v=\frac{V_{max}[S]}{K_m＋[S]}$$

$$\frac{[S]}{v}=\frac{K_m＋[S]}{V_{max}}$$

$$\frac{[S]}{v}=\frac{1}{V_{max}}\times[S]＋\frac{K_m}{V_{max}}$$

となり、これをHanes-Woolfプロット（ヘインズ・ウルフプロット）と呼びます。Hanes-Woolfプロットでは、横軸（x軸）に[S]、縦軸（y軸）に[S]/vをとります。

○k_cat（ターンオーバー数）の決定

　V_maxの状態は、大過剰の基質が存在するときの反応であり、酵素-基質複合体（ES複合体）を形成していない酵素（E）が無いような状態ですので、V_max値を酵素の初濃度[E]₀で割った以下の式により、単位時間あたりに１個の酵素が行う酵素反応の回数を示したk_cat（ターンオーバー数）を求めることができます。

※k_catは分子活性とも呼ばれます。